 |
| Units and Dimensions |
1.
भौतिक राशि (Physical
Quantity) क्या है?
उत्तर:
जिस राशि को संख्या तथा उसकी इकाई के रूप में व्यक्त किया जा सके, उसे
भौतिक राशि (Physical Quantity) कहते हैं।
उदाहरण:
- लंबाई = 5 metre
- द्रव्यमान
= 10 kg
- समय = 20 second
यहाँ 5, 10, 20 संख्यात्मक मान हैं और metre, kg, second इकाइयाँ हैं।
2.
इकाई (Unit) क्या है?
उत्तर:
किसी भौतिक राशि को मापने के लिए निर्धारित किए गए निश्चित मान को उस राशि की इकाई (Unit) कहते हैं।
उदाहरण:
लंबाई की SI इकाई = metre (m)
द्रव्यमान की SI इकाई = kilogram (kg)
समय की SI इकाई = second (s)
3.
Fundamental और Derived
Units क्या हैं?
Fundamental
Unit — मूल इकाई
जो इकाइयाँ किसी दूसरी इकाई पर निर्भर नहीं
होतीं, उन्हें मूल इकाई कहते हैं।
SI की 7 मूल इकाइयाँ:
|
भौतिक राशि |
SI Unit |
Symbol |
|
Length |
metre |
m |
|
Mass |
kilogram |
kg |
|
Time |
second |
s |
|
Electric
current |
ampere |
A |
|
Temperature |
kelvin |
K |
|
Amount
of substance |
mole |
mol |
|
Luminous
intensity |
candela |
cd |
Derived
Unit — व्युत्पन्न इकाई
जो इकाइयाँ मूल इकाइयों से प्राप्त होती हैं, उन्हें व्युत्पन्न इकाई कहते हैं।
उदाहरण:
Velocity
= Distance / Time
इसलिए,
Unit
of velocity = m/s
Force:
Force
= Mass × Acceleration
इसलिए,
Unit
of Force = kg × m/s² = kg m/s²
इसे
Newton (N) कहते हैं।
4.
SI System क्या है?
उत्तर:
SI का पूरा नाम International System of Units है।
यह विश्वभर में भौतिक राशियों को मापने के लिए
प्रयोग की जाने वाली मानक इकाई प्रणाली है।
परीक्षा में याद रखें:
SI
की 7
Fundamental Units:
M,
kg, s, A, K, mol, cd
5.
Dimension (विमा) क्या है?
उत्तर:
किसी भौतिक राशि को मूल राशियों के घातों (powers) के रूप में व्यक्त करने को उस राशि की विमा (Dimension) कहते हैं।
तीन fundamental
quantities के आधार पर:
- Mass → M
- Length → L
- Time → T
उदाहरण:
Velocity
= Distance / Time
इसलिए,
Dimension
of velocity = [LT⁻¹]
6.
Dimensional Formula क्या है?
उत्तर:
किसी भौतिक राशि को मूल राशियों
M, L और T के घातों के
रूप में व्यक्त करने पर प्राप्त expression
को Dimensional Formula कहते हैं।
सामान्य रूप:
[Mᵃ
Lᵇ Tᶜ]
जहाँ a,
b और c घात हैं।
7.
Velocity की Dimensional
Formula निकालिए।
Velocity:
v
= Distance / Time
Distance
की dimension = L
Time की dimension = T
इसलिए:
[v]
= [LT⁻¹]
Answer:
Velocity
= [M⁰L¹T⁻¹]
8.
Acceleration की Dimensional
Formula निकालिए।
Acceleration:
a
= Velocity / Time
Velocity
= [LT⁻¹]
इसलिए:
[a]
= [LT⁻¹] / [T]
[a]
= [LT⁻²]
Answer:
Acceleration
= [M⁰L¹T⁻²]
9.
Force की Dimensional
Formula निकालिए।
Newton's
second law:
F
= ma
Mass
= [M]
Acceleration
= [LT⁻²]
इसलिए:
[F]
= [M] [LT⁻²]
Answer:
Force
= [MLT⁻²]
10.
Work की Dimensional
Formula निकालिए।
Work:
W
= Force × Distance
Force
= [MLT⁻²]
Distance = [L]
इसलिए:
[W]
= [MLT⁻²] × [L]
Answer:
Work
= [ML²T⁻²]
11.
Energy की Dimensional
Formula क्या है?
Energy
और Work की dimensions समान होती हैं।
इसलिए:
Answer:
Energy
= [ML²T⁻²]
12.
Power की Dimensional
Formula निकालिए।
Power:
P
= Work / Time
Work
= [ML²T⁻²]
इसलिए:
[P]
= [ML²T⁻²] / [T]
Answer:
Power
= [ML²T⁻³]
13.
Momentum की Dimensional
Formula निकालिए।
Momentum:
p
= Mass × Velocity
Mass
= [M]
Velocity
= [LT⁻¹]
इसलिए:
Answer:
Momentum
= [MLT⁻¹]
14.
Pressure की Dimensional
Formula निकालिए।
Pressure:
P
= Force / Area
Force
= [MLT⁻²]
Area
= [L²]
इसलिए:
[P]
= [MLT⁻²] / [L²]
Answer:
Pressure
= [ML⁻¹T⁻²]
15.
Density की Dimensional
Formula निकालिए।
Density:
ρ
= Mass / Volume
Mass
= [M]
Volume
= [L³]
इसलिए:
Answer:
Density
= [ML⁻³]
16.
Frequency की Dimensional
Formula क्या है?
Frequency:
f
= 1 / Time
इसलिए:
Answer:
Frequency
= [T⁻¹]
17.
कुछ बहुत महत्वपूर्ण Dimensional Formula
इन्हें परीक्षा के लिए जरूर याद करें:
|
Quantity |
Dimensional Formula |
|
Velocity |
[LT⁻¹] |
|
Acceleration |
[LT⁻²] |
|
Force |
[MLT⁻²] |
|
Momentum |
[MLT⁻¹] |
|
Work |
[ML²T⁻²] |
|
Energy |
[ML²T⁻²] |
|
Power |
[ML²T⁻³] |
|
Pressure |
[ML⁻¹T⁻²] |
|
Density |
[ML⁻³] |
|
Frequency |
[T⁻¹] |
|
Gravitational
constant G |
[M⁻¹L³T⁻²] |
|
Planck's
constant |
[ML²T⁻¹] |
|
Surface
tension |
[MT⁻²] |
|
Impulse |
[MLT⁻¹] |
|
Torque |
[ML²T⁻²] |
18.
Principle of Homogeneity of Dimensions
यह बहुत महत्वपूर्ण 2–3 marks का question है।
Statement:
किसी सही physical
equation में equation के दोनों sides की dimensions
समान होनी चाहिए तथा अलग-अलग terms की dimensions भी समान होनी चाहिए।
उदाहरण:
Equation:
s
= ut + ½at²
अब:
s की dimension = [L]
ut:
u =
[LT⁻¹]
t = [T]
इसलिए:
ut =
[L]
at²:
a =
[LT⁻²]
t² = [T²]
इसलिए:
at² =
[L]
इसलिए सभी terms
की dimension [L] है।
अतः equation
dimensionally correct है।
19.
Dimensional Analysis के उपयोग
Dimensional
Analysis के मुख्य
उपयोग:
- किसी physical equation की correctness check करना।
- एक system of units से दूसरे system में conversion करना।
- किसी physical quantity की dimensional formula निकालना।
- विभिन्न physical quantities के बीच relation प्राप्त करना।
- Numerical problems को solve करने में सहायता करना।
20.
Dimensional Analysis की limitations
यह भी exam
में पूछा जा सकता है।
- Numerical constant जैसे 2,
½, π आदि का
पता नहीं चलता।
- Trigonometric functions जैसे sin, cos आदि की जानकारी नहीं
मिलती।
- ऐसी equations जिनमें addition/subtraction के बजाय complex functions हों, उनके लिए सीमित उपयोग
है।
- Dimensionally correct equation हमेशा physically
correct हो, यह जरूरी नहीं है।
21.
महत्वपूर्ण Numerical
— Equation Check
Question:
Check
करें कि
v²
= u² + 2as
dimensionally
correct है या नहीं।
Solution:
Left
side:
v =
[LT⁻¹]
इसलिए:
v² =
[L²T⁻²]
Right
side:
u² =
[L²T⁻²]
अब:
a =
[LT⁻²]
s =
[L]
इसलिए:
as =
[LT⁻²] [L]
=
[L²T⁻²]
अतः दोनों sides
की dimensions समान हैं।
Answer:
Equation
dimensionally correct है।
22.
महत्वपूर्ण Numerical
— Gravitational Constant
मान लीजिए:
F
= Gm₁m₂/r²
G की dimensional formula निकालिए।
Rearrange:
G
= Fr²/(m₁m₂)
अब:
F =
[MLT⁻²]
r² =
[L²]
m₁m₂
= [M²]
इसलिए:
G
= [MLT⁻²][L²]/[M²]
Answer:
G
= [M⁻¹L³T⁻²]
23.
Exam में आने वाले सबसे महत्वपूर्ण Questions
Very
Important ⭐⭐⭐
- Define fundamental and derived units with
examples.
- What is SI system? Write seven fundamental SI
units.
- Define dimensions and dimensional formula.
- Find dimensional formula of velocity and
acceleration.
- Find dimensional formula of force.
- Find dimensional formula of work and energy.
- Find dimensional formula of power.
- Find dimensional formula of pressure.
- Find dimensional formula of density.
- Find dimensional formula of momentum.
- Find dimensional formula of gravitational
constant G.
- State and explain principle of homogeneity of
dimensions.
- Check the dimensional correctness of a given
equation.
- Write applications of dimensional analysis.
- Write limitations of dimensional analysis.
🎯 सबसे पहले ये 10 Formula याद कर लें
Velocity
→ [LT⁻¹]
Acceleration
→ [LT⁻²]
Force
→ [MLT⁻²]
Momentum
→ [MLT⁻¹]
Work
→ [ML²T⁻²]
Energy
→ [ML²T⁻²]
Power
→ [ML²T⁻³]
Pressure
→ [ML⁻¹T⁻²]
Density
→ [ML⁻³]
Frequency
→ [T⁻¹]
भाग–B: Errors in Measurement
1.
Measurement क्या है?
किसी भौतिक राशि की तुलना उसी प्रकार की मानक
इकाई से करने की प्रक्रिया को Measurement (मापन) कहते हैं।
उदाहरण:
यदि किसी छड़ की लंबाई 5 m है, तो हमने उसकी
लंबाई की तुलना metre नामक मानक इकाई
से की है।
2.
Error क्या है?
किसी भौतिक राशि के मापे गए मान (Measured Value)
और उसके वास्तविक/स्वीकृत
मान (True or Accepted Value) के बीच अंतर को Error (त्रुटि) कहते हैं।
Formula:
Error
= Measured Value − True Value
Error
धनात्मक या ऋणात्मक हो सकता है।
3.
Errors के प्रकार
मुख्य रूप से errors को तीन प्रकारों में बाँटा जाता है:
- Systematic Error
- Random Error
- Gross Error
4.
Systematic Error क्या है?
जो त्रुटि किसी निश्चित कारण से बार-बार लगभग एक
ही दिशा में होती है, उसे Systematic
Error कहते हैं।
उदाहरण:
किसी weighing
machine में zero error है।
यदि machine
हमेशा वास्तविक mass से 2 g अधिक दिखाती है, तो यह systematic
error है।
इसके कारण:
- Instrumental error
- Zero error
- Environmental error
- Observational error
5.
Random Error क्या है?
जो त्रुटि अनियमित रूप से बदलती रहती है और
जिसका कोई निश्चित pattern नहीं होता, उसे
Random Error कहते हैं।
उदाहरण:
किसी वस्तु की लंबाई को कई बार मापने पर readings:
10.1
cm, 10.2 cm, 10.0 cm, 10.1 cm
आ सकती हैं।
इस प्रकार की variation को random
error कहते हैं।
Random
error कम करने का तरीका:
एक ही measurement
को कई बार लेकर उसका mean/average
निकालना।
6.
Gross Error क्या है?
माप लेते समय व्यक्ति द्वारा की गई बड़ी गलती को Gross
Error कहते हैं।
उदाहरण:
- गलत reading लिख देना।
- Scale को गलत पढ़ना।
- 15.2 cm की जगह 12.5 cm लिख देना।
- Calculation में गलती
करना।
इसे कैसे कम करें?
- Measurement ध्यान से
लें।
- Reading दोबारा check करें।
- Calculation verify करें।
7.
Absolute Error क्या है?
किसी measured
value और mean value के बीच के अंतर
के magnitude को Absolute
Error कहते हैं।
यदि measurements
हैं:
x₁,
x₂, x₃, ... xₙ
तो mean
value:
x̄
= (x₁ + x₂ + ... + xₙ)/n
और प्रत्येक measurement का absolute
error:
Δx₁
= |x₁ − x̄|
इसी प्रकार:
Δx₂
= |x₂ − x̄|
8.
Mean Absolute Error क्या है?
सभी absolute
errors के average को Mean
Absolute Error कहते हैं।
Formula:
Mean
Absolute Error = (Δx₁ + Δx₂ + ... + Δxₙ)/n
यह बहुत important
numerical formula है।
9.
Relative Error क्या है?
Mean
absolute error और mean measured
value के ratio को Relative
Error कहते हैं।
Formula:
Relative
Error = Mean Absolute Error / Mean Value
10.
Percentage Error क्या है?
Relative
error को 100 से multiply करने पर percentage
error प्राप्त होता है।
Formula:
Percentage
Error = Relative Error × 100
या
Percentage
Error = (Mean Absolute Error / Mean Value) × 100
⭐ यह formula
exam में बहुत महत्वपूर्ण है।
11.
Accuracy क्या है?
किसी measurement
का true/accepted value के कितना करीब
होना Accuracy कहलाता है।
Example:
True
value = 10 cm
Measurement
A = 10.01 cm
Measurement B = 12 cm
तो A
measurement अधिक accurate है।
12.
Precision क्या है?
बार-बार किए गए measurements का एक-दूसरे के बहुत करीब होना Precision कहलाता है।
याद रखने का आसान तरीका:
Accuracy
→ True value के करीब
Precision
→ Readings एक-दूसरे के करीब
13.
Accuracy और Precision
में अंतर
|
Accuracy |
Precision |
|
True
value के करीब होने को बताती है |
Measurements
की आपसी consistency बताती है |
|
Correctness
से संबंधित |
Repeatability
से संबंधित |
|
True
value से तुलना होती है |
अलग-अलग readings से तुलना होती है |
14.
Significant Figures क्या हैं?
किसी measured
quantity में वे digits जो measurement की precision को दर्शाते हैं, Significant Figures कहलाते हैं।
उदाहरण:
25.4
cm
इसमें तीन significant
figures हैं:
2,
5 और 4
15.
Significant Figures के महत्वपूर्ण नियम
Rule
1:
Non-zero
digits हमेशा significant होते हैं।
234
→ 3 significant figures
Rule
2:
दो non-zero
digits के बीच के zeros
significant होते हैं।
2005
→ 4 significant figures
Rule
3:
Decimal
के बाद आने वाले trailing zeros
significant होते हैं।
2.500
→ 4 significant figures
Rule
4:
Decimal
से पहले के leading zeros significant नहीं होते।
0.0045
→ 2 significant figures
16.
Error in Addition
यदि:
Z
= A + B
तो maximum
absolute error:
ΔZ
= ΔA + ΔB
17.
Error in Subtraction
यदि:
Z
= A − B
तो maximum
absolute error:
ΔZ
= ΔA + ΔB
ध्यान दें कि subtraction में भी absolute errors add होते हैं।
18.
Error in Multiplication
यदि:
Z
= A × B
तो:
ΔZ/Z
= ΔA/A + ΔB/B
अर्थात relative errors add होते हैं।
19.
Error in Division
यदि:
Z
= A/B
तो:
ΔZ/Z
= ΔA/A + ΔB/B
अर्थात division
में भी relative errors add होते हैं।
20.
Error in Power
यदि:
Z
= Aⁿ
तो:
ΔZ/Z
= n(ΔA/A)
उदाहरण:
यदि
Z
= A²
तो:
ΔZ/Z
= 2ΔA/A
⭐ Exam के लिए सबसे महत्वपूर्ण Questions
2
Marks वाले Questions
- Measurement क्या है?
- Error क्या है?
- Absolute error की
परिभाषा दीजिए।
- Relative error क्या है?
- Percentage error क्या है?
- Systematic error क्या है?
- Random error क्या है?
- Gross error क्या है?
- Accuracy और Precision क्या हैं?
- Significant figures क्या हैं?
3–5
Marks वाले Questions
⭐⭐⭐
- Systematic, Random और Gross errors को उदाहरण
सहित समझाइए।
- Accuracy और Precision में अंतर
समझाइए।
- Absolute, Relative तथा Percentage error को
समझाइए।
- Errors के addition, subtraction, multiplication और division
के नियम समझाइए।
- Significant figures के नियम
उदाहरण सहित समझाइए।
- दिए गए measurements का mean और mean absolute error निकालिए।
- Percentage error पर numerical हल कीजिए।
🔥 पूरे Unit के लिए सबसे जरूरी Formula Sheet
Units
& Dimensions
|
Quantity |
Formula |
Dimension |
|
Velocity |
s/t |
[LT⁻¹] |
|
Acceleration |
v/t |
[LT⁻²] |
|
Force |
ma |
[MLT⁻²] |
|
Momentum |
mv |
[MLT⁻¹] |
|
Work |
Fs |
[ML²T⁻²] |
|
Energy |
Work |
[ML²T⁻²] |
|
Power |
W/t |
[ML²T⁻³] |
|
Pressure |
F/A |
[ML⁻¹T⁻²] |
|
Density |
m/V |
[ML⁻³] |
|
Frequency |
1/T |
[T⁻¹] |
|
G |
Fr²/m² |
[M⁻¹L³T⁻²] |
Errors
Mean
value:
xˉ=nx1+x2+⋯+x/n
Absolute
Error:
Δx=∣x−xˉ∣
Mean
Absolute Error:
Δxˉ=n∑Δx
Relative
Error:
Δx/x
Percentage
Error:
(Δx/x)×100
Addition/Subtraction:
ΔZ=ΔA+ΔB
Multiplication/Division:
ΔZ/Z=ΔA\A+ΔB/B
Power:
ΔZ/Z=NA/A
Long Numerical 1 — Dimensional Analysis से Formula निकालना ⭐⭐⭐
प्रश्न:
एक simple
pendulum का time period T,
bob के mass m, length l तथा acceleration due to gravity g पर निर्भर करता
है। मान लीजिए:
T
= K × mᵃ × lᵇ × gᶜ
जहाँ K एक dimensionless constant है। Dimensional analysis की सहायता से a, b और c के मान ज्ञात
कीजिए।
Solution:
दिया है:
T
= K × mᵃ × lᵇ × gᶜ
अब दोनों sides
की dimensions लिखते हैं।
Step
1: Left Hand Side
Time
period T की dimension:
[T]
= [T]
Step
2: Right Hand Side
Mass:
[m]
= [M]
Length:
[l]
= [L]
Acceleration
due to gravity:
[g]
= [LT⁻²]
इसलिए:
[mᵃ]
= [Mᵃ]
[lᵇ]
= [Lᵇ]
और
[gᶜ]
= [LᶜT⁻²ᶜ]
अतः RHS:
[Mᵃ]
× [Lᵇ] × [LᶜT⁻²ᶜ]
=
[MᵃLᵇ⁺ᶜT⁻²ᶜ]
Step
3: दोनों sides की dimensions compare करें
LHS:
[M⁰L⁰T¹]
RHS:
[MᵃLᵇ⁺ᶜT⁻²ᶜ]
अब corresponding
powers को equate करेंगे।
Mass
की power:
a
= 0
Time
की power:
−2c
= 1
इसलिए:
c
= −1/2
Length
की power:
b
+ c = 0
b
= −c
b
= 1/2
Final
Answer:
a
= 0, b = 1/2, c = −1/2
इसलिए:
T
= K × m⁰ × l¹ᐟ² ×
g⁻¹ᐟ²
अर्थात:
T
= K × √(l/g)
इससे पता चलता है कि simple
pendulum का time
period mass पर depend
नहीं करता।
Long
Numerical 2 — Force का नया Formula निकालना
प्रश्न:
मान लीजिए किसी वस्तु पर लगने वाला force F, उसके mass
m, velocity v और radius r पर निर्भर करता
है:
F
= K × mᵃ × vᵇ × rᶜ
जहाँ K एक dimensionless constant है।
Dimensional
analysis द्वारा a, b और c ज्ञात कीजिए।
Solution:
दिया है:
F
= K × mᵃ × vᵇ × rᶜ
Force
की dimension:
[F]
= [MLT⁻²]
अब:
[m]
= [M]
[v]
= [LT⁻¹]
[r]
= [L]
RHS की dimension:
[Mᵃ]
× [LT⁻¹]ᵇ × [Lᶜ]
=
[MᵃLᵇT⁻ᵇLᶜ]
=
[MᵃLᵇ⁺ᶜT⁻ᵇ]
अब LHS और RHS की powers
compare करेंगे।
M की power:
a
= 1
T की power:
−b
= −2
इसलिए:
b
= 2
L की power:
b
+ c = 1
2
+ c = 1
c
= −1
Final
Answer:
a
= 1, b = 2, c = −1
इसलिए:
F
= K × m × v² × r⁻¹
अर्थात:
F
= K × mv²/r
या
F ∝ mv²/r
यह centripetal
force के relation को दर्शाता है।
Long
Numerical 3 — Energy के आधार पर Relation
प्रश्न:
किसी vibrating
particle की energy E, उसके mass m, amplitude A और frequency f पर निर्भर करती है। मान
लें:
E
= K × mᵃ × fᵇ × Aᶜ
Dimensional
analysis की सहायता से a, b और c ज्ञात कीजिए।
Solution:
Energy
की dimension:
[E]
= [ML²T⁻²]
Mass:
[m]
= [M]
Frequency:
[f]
= [T⁻¹]
Amplitude:
[A]
= [L]
RHS:
[Mᵃ]
× [T⁻¹]ᵇ × [Lᶜ]
=
[MᵃLᶜT⁻ᵇ]
LHS:
[M¹L²T⁻²]
अब powers
compare करें।
Mass:
a
= 1
Length:
c
= 2
Time:
−b
= −2
इसलिए:
b
= 2
Final
Answer:
a
= 1, b = 2, c = 2
इसलिए:
E
= K × m × f² × A²
Long
Numerical 4 — Gravitational Relation
प्रश्न:
मान लें कि gravitational
force F, दो masses m₁, m₂ और उनके बीच की
दूरी r पर निर्भर करता
है:
F
= K × m₁ᵃ × m₂ᵇ × rᶜ
Dimensional
analysis द्वारा a, b और c ज्ञात कीजिए।
Solution:
Force:
[F]
= [MLT⁻²]
Masses:
[m₁]
= [M]
[m₂]
= [M]
Distance:
[r]
= [L]
RHS:
[Mᵃ]
× [Mᵇ] × [Lᶜ]
=
[Mᵃ⁺ᵇLᶜ]
लेकिन LHS:
[MLT⁻²]
यहाँ RHS
में T⁻² की dimension
मौजूद नहीं है।
इसलिए यदि K
को dimensionless constant माना जाए,
तो दिए गए variables से gravitational force की पूरी dimensional form प्राप्त नहीं
की जा सकती।
वास्तव में gravitational
law में K स्वयं dimensional quantity होता है, जिसे हम Gravitational Constant G कहते हैं।
इसलिए सही relation
है:
F
= G × m₁ × m₂/r²
और G की dimensional formula:
[G]
= [M⁻¹L³T⁻²]
महत्वपूर्ण बात:
Dimensional
analysis में यदि कोई dimensional
constant मौजूद हो, तो उसे dimensionless मानना गलत हो
सकता है।
Exam
में Long
Numerical लिखने का तरीका
अगर प्रश्न आए:
"Using
dimensional analysis, derive the relation between physical quantities."
तो इस क्रम में answer लिखें:
1.
Given relation
Q
= K × Aᵃ × Bᵇ × Cᶜ
2.
सभी quantities
की dimensions
लिखें।
[Q]
= [A]ᵃ × [B]ᵇ × [C]ᶜ
3.
M, L और T की powers compare करें।
4.
तीन simultaneous
equations बनाएं।
5.
a, b और c के मान
निकालें।
6.
Final relation लिखें।